Закон квадрата-куба

Материал из Posmotre.li
Перейти к: навигация, поиск
TVTropes.pngTV Tropes
Для англоязычных и желающих ещё глубже ознакомиться с темой в проекте TV Tropes есть статья Square-Cube Law. Вы также можете помочь нашему проекту и перенести ценную информацию оттуда в эту статью.
Склифосовский.pngВкратце
Нельзя так просто взять и увеличить что-нибудь в 10 раз: площадь увеличится в 100 раз, объём в 1000 раз.
« — Муравей может поднять вес, в 10 раз превышающий свой собственный.
Каждый может поднять вес в 10 раз больше муравья!
»
ЧП и Зигзаг

Закон квадрата-куба звучит так: если увеличить что-то в n раз, площадь поверхности увеличится в n² раз, объём — в n³ раз.

Одни параметры завязаны на объём (и увеличатся в n³ раз), другие — на площадь (и увеличатся всего лишь квадратично). Масса — n³, сила мышц — n², поэтому великан не сможет даже удержать себя. Так что простое увеличение или уменьшение знакомых вещей не работает, потребуется кардинальная переработка. И потому не бывает ОБЧР, гигантских насекомых, великанов и лилипутов, кайдзю, и т. д., и для этого по умолчанию необходимо вводить в сюжет магию, либо что-то ей подобное.

Что чему пропорционально[править]

  • Близка к константе (n0)
    • Внезапно, скорость метания тел упругими конструкциями. И масса, и запасённая упругая энергия пропорциональна кубу размеров. С учетом ухода энергии во вращательное движение и некоторого снижения удельной прочности с увеличением размера — степень становится даже несколько отрицательной.
  • Пропорционально корню линейного размера (n0,5)
    • Скорость вытекания жидкости из сосуда.[1]
  • Пропорционально линейному размеру (n)
    • Давление на грунт, удельная нагрузка на конструкции.
    • Толщина брони.
  • Пропорционально площади (n²)
    • Прочность конструкций, сила мускулов.
    • Силы (в ньютонах! — не давление, которое в Н/м² = 1 Па ≈ 10−5 атм) в тепловой, гидравлической или пневматической машине.
    • Площадь опоры.
    • Поверхность тела.
    • Площадь и подъемная сила крыла.
    • Сопротивление воздуха.
    • Поверхность тепло- и газообмена.
    • Пропускная способность труб.
    • Вероятность попасть в объект хотя бы одним снарядом (если разброс больше, чем габариты объекта). Ну и за компанию — сколько шальных пуль и осколков примет на себя объект.
    • Скорость обмена веществ организма (точнее, пропорциональна массе тела в степени 0,75).[2]
  • Пропорционально объёму (n³)
    • Масса и соответственно кинетическая энергия при той же скорости.
    • Потребная мощность моторов.
    • Сложность мозга и других информационных устройств.
  • Пропорционально четвертой степени (n4)
    • Момент инерционных сил, изламывающий момент.
  • Пропорционально пятой степени (n5)
    • Момент инерции — аналог массы для вращательного движения. В одиночестве не используется, но сильно мешает быстро раскручивать-тормозить вращение всякого большого хлама.
    • Центробежные силы при постоянной частоте вращения — масса эксцентрика пропорциональна кубу, а ускорение — квадрату размера.

Выводы[править]

В биологии[править]

Насекомые очень малы (n малó), и у них отношение поверхности газообмена к массе (n²/n³ = 1/n) большое. Так что нечего природе и огород городить, насекомым достаточно дышать простой диффузией (т. н. трахеями). А нам приходится принудительно прокачивать воздух через дыхательные пути. И лапки у насекомых тонюсенькие относительно всего тела. Знаете такую шутку: «По законам аэродинамики шмель летать не может, но он этого не знает и летает»? По самолётным формулам для самолётных масштабов — да. А шмелю помогает закон квадрата-куба: размер крыльев и управляющих поверхностей нужен совсем небольшой. И с малыми размерами возможны совсем другие принципы полёта, разгаданные только в последние десятилетия.

Почему кузнечик прыгает на полметра, а слон не прыгает вообще? Потому что масса (и ударные нагрузки от прыжков) n³, а прочность костей и сила ног всего лишь n². А ещё насекомое может упасть практически с любой высоты: большой запас прочности и большое сопротивление воздуха (относительно массы, разумеется) не дадут разбиться.

Это же делает Человека-паука невозможным в мире с нашими законами физики.

Что, одни плюсы от малого размера? А минусы в том, что отношение поверхности теплообмена к массе — те же 1/n. Другими словами, маленький не может быть теплокровным. Замечали, как в августе колорадские жуки становятся квёлыми? А температура упала всего чуть-чуть. А сложность мозга уменьшается кубически — n³ — так что и разумным тоже не станешь. И кинетическая энергия n³ — препятствия, непроходимые для мелких существ, крупные с лёгкостью сносят.

Расчеты, сделанные но основании изучения системы дыхания акул, позволили сделать вывод, что максимально возможный предел в их размерах составляет около 15 метров. Поскольку при увеличении размеров тела поверхность жабер увеличивается непропорционально, это не позволяет доставить требуемое количество кислорода в организм. Указанная цифра примерно соотносится с размерами крупнейших достоверно измеренных китовых и гигантских акул, а также теоретическими прикидками относительно предельных размеров вымершего мегалодона.

В технике[править]

Почему для небоскрёбов потребовались прочные сорта стали? Потому что прочность всего лишь n², а масса n³. Так что при увеличении размера постройки в n раз удельная нагрузка на конструкции повысится в те же n раз.

Гигантские самолёты («Мрия», A380) непривычны для наших глаз именно из-за непропорциональных размеров крыльев и управляющих поверхностей: их приходится делать в √n раз больше, чем нужно было бы при пропорциональном увеличении. А дирижабли можно делать гигантскими, и они сохранят те же пропорции: подъёмная сила их баллонов зависит от объёма, а не от площади, и растет в ногу с массой дирижабля.

  • В некотором смысле большие дирижабли даже удобнее — в маленьких обшивка достаточной прочности будет слишком толста по сравнению с размерами дирижабля. Крошечные коптеры вполне существуют, а вот крошечных дирижаблей — нет. Но ветровое воздействие хуже переносится именно большими.

Если увеличить мотор в n раз, давление в нём не изменится, площадь поршней увеличится в n² раз, масса деталей в n³ раз — другими словами, обороты мотора уменьшатся в n раз, а мощность — увеличится в n² раз. Замечали, как тихоходны огромные судовые двигатели? Кроме того, одни детали будут работать с увеличенными нагрузками, другие с уменьшенными — поэтому потребуется переработка всего, что есть в моторе. Тоньше картер, слабее поршни, это потребует более лёгких противовесов… А можно, наоборот, форсировать двигатель, уменьшив сами цилиндры, но увеличив их количество и усилив систему охлаждения (не забыли, её эффективность n²?) А ещё придётся переделать капот той машины, в которой этот мотор будет стоять.

  • Вышесказанное справедливо для теплового двигателя, а как закон квадрата-куба отразится на электрическом двигателе или электрическом генераторе?
    • Магнитное поле с размером не меняется, движущая сила — пропорционально плотности тока в обмотке на куб её размера, момент — плотности тока на четвёртую степень размеров. Мощность — четвертая степень размера на плотность тока и частоту вращения. Но момент инерции пропорционален пятой степени, так что разгоняться он будет медленнее. Проблемы с нагревом с увеличением размеров усиливаются, так что придётся снижать плотность тока, или городить более сложную и эффективную систему охлаждения, благо это становится проще.
    • Усилия в подшипниках возрастают как куб/пятая (от центробежных сил) степень, а их прочность — как квадрат. Так что сильно размеры не поднять.

В авиации есть изящный термин «уравнение существования». Это эмпирический закон, показывающий приблизительную составляющую долю в общей массе всех узлов, образующих самолет, чтобы он мог летать. Для более крупного самолета нужен более мощный двигатель. Этот двигатель будет чуть тяжелее, поэтому понадобится более крупное крыло. Это крыло тоже будет чуть тяжелее, поэтому эта «гонка весов» асимптотически стремится к… …новому самолету, в котором двигатели по прежнему будут занимать, скажем, 35 % веса, но общая масса самолета возрастет раза в два. Например И-16 при мощности двигателя около 1000 лошадиных сил имел взлётную массу 1800—1900 кг, а его прямой потомок И-185 с 2000-сильным двигателем тянул уже на 3800.

Положительные стороны[править]

Объём топлива и перевозимого груза на корабле растёт пропорционально кубу, а сечение, которое надо пропихивать через воду — квадрату. Поэтому суда всё монструознее и монструознее.

Если речь идёт о гребных судах, то увеличение судна в длину с добавлением дополнительных гребцов увеличивает только трение бортов о воду, которое составляет меньшую долю в общем сопротивлении воды, но оставляет неизменным вышеупомянутое сечение, пропихивание которого и создаёт основную проблему — мощность растёт линейно (точнее, медленнее, чем линейно, но быстрее, чем с показателем 1/2), затраты — значительно медленнее. А учитывая, что длинная лодка создаёт меньшую турбулентность в воде, чем короткая, получается именно так: чем длиннее лодка и больше на ней гребцов — тем эффективнее вся конструкция. Дальше всё упирается только в прочность, где закон квадрата-куба превращается просто в закон квадрата: при простом удлинении лодки нагрузка на корпус в средней части растёт квадратично, а его прочность не изменяется вообще.

    • Правда, остается ещё волновое сопротивление.

То же с дирижаблями: масса оболочки при равной толщине растёт по квадрату, рабочий объем — по кубу, да и аэродинамика улучшается, как у судов. А керосин всё дороже, и перспективы возрождения воздухоплавания всё заманчивее.