Закон квадрата-куба

Материал из Posmotre.li
Перейти к: навигация, поиск
Склифосовский.pngВкратце
Нельзя так просто взять и увеличить что-нибудь в 10 раз: площадь увеличится в 100 раз, объём в 1000 раз.
« — Муравей может поднять вес, в 10 раз превышающий свой собственный.
— Каждый может поднять вес в 10 раз больше муравья!
»
ЧП и Зигзаг

Закон квадрата-куба звучит так: если увеличить что-то в n раз, площадь поверхности увеличится в n² раз, объём — в n³ раз.

Одни параметры завязаны на объём (и увеличатся в n³ раз), другие — на площадь (и увеличатся всего лишь квадратично). Масса — n³, сила мышц — n², поэтому великан не сможет даже удержать себя. Так что простое увеличение или уменьшение знакомых вещей не работает, потребуется кардинальная переработка. И потому не бывает ОБЧР, гигантских насекомых, великанов и лилипутов, и т. д., и для этого по умолчанию необходимо вводить в сюжет магию, либо что-то ей подобное.

Что чему пропорционально[править]

  • Пропорционально корню линейного размера (n0,5)
    • Скорость вытекания жидкости из сосуда.[1]
  • Пропорционально линейному размеру (n)
    • Давление на грунт, удельная нагрузка на конструкции.
    • Толщина брони.
  • Пропорционально площади (n²)
    • Прочность конструкций, сила мускулов.
    • Сила давления (в ньютонах! — не давление, которое в Н/м² = 1 Па ≈ 10−5 атм) в тепловой, гидравлической или пневматической машине.
    • Площадь опоры.
    • Поверхность тела.
    • Площадь и подъемная сила крыла.
    • Сопротивление воздуха.
    • Поверхность тепло- и газообмена.
    • Пропускная способность труб.
    • Вероятность попасть в объект хотя бы одним снарядом (если разброс больше, чем габариты объекта). Ну и за компанию — сколько шальных пуль и осколков примет на себя объект.
    • Скорость обмена веществ организма (точнее, пропорциональна массе тела в степени 0,75).[2]
  • Пропорционально объёму (n³)
    • Масса.
    • Потребная мощность моторов.
    • Сложность мозга и других информационных устройств.

Выводы[править]

В биологии[править]

Насекомые очень малы (n малó), и у них отношение поверхности газообмена к массе (n²/n³ = 1/n) большое. Так что нечего природе и огород городить, насекомым достаточно дышать простой диффузией (т. н. трахеями). А нам приходится принудительно прокачивать воздух через дыхательные пути. И лапки у насекомых тонюсенькие относительно всего тела. Знаете такую шутку: «По законам аэродинамики шмель летать не может, но он этого не знает и летает»? По самолётным формулам для самолётных масштабов — да. А шмелю помогает закон квадрата-куба: размер крыльев и управляющих поверхностей нужен совсем небольшой. И с малыми размерами возможны совсем другие принципы полёта, разгаданные только в последние десятилетия.

Почему кузнечик прыгает на полметра, а слон не прыгает вообще? Потому что масса (и ударные нагрузки от прыжков) n³, а прочность костей и сила ног всего лишь n². А ещё насекомое может упасть практически с любой высоты: большой запас прочности и большое сопротивление воздуха (относительно массы, разумеется) не дадут разбиться.

Это же делает Человека-паука невозможным в мире с нашими законами физики.

Что, одни плюсы от малого размера? А минусы в том, что отношение поверхности теплообмена к массе — те же 1/n. Другими словами, маленький не может быть теплокровным. Замечали, как в августе колорадские жуки становятся квёлыми? А температура упала всего чуть-чуть. А сложность мозга уменьшается кубически — n³ — так что и разумным тоже не станешь. И кинетическая энергия n³ — препятствия, непроходимые для мелких существ, крупные с лёгкостью сносят.

В технике[править]

Почему для небоскрёбов потребовались прочные сорта стали? Потому что прочность всего лишь n², а масса n³. Так что при увеличении размера постройки в n раз удельная нагрузка на конструкции повысится в те же n раз.

Гигантские самолёты («Мрия», A380) непривычны для наших глаз именно из-за непропорциональных размеров крыльев и управляющих поверхностей: их приходится делать в √n раз больше, чем нужно было бы при пропорциональном увеличении. А дирижабли можно делать гигантскими, и они сохранят те же пропорции: подъёмная сила их баллонов зависит от объёма, а не от площади, и растет в ногу с массой дирижабля.

Если увеличить мотор в n раз, давление в нём не изменится, площадь поршней увеличится в n² раз, масса деталей в n³ раз — другими словами, обороты мотора уменьшатся в n раз, а мощность — увеличится в n² раз. Замечали, как тихоходны огромные судовые двигатели? Кроме того, одни детали будут работать с увеличенными нагрузками, другие с уменьшенными — поэтому потребуется переработка всего, что есть в моторе. Тоньше картер, слабее поршни, это потребует более лёгких противовесов… А можно, наоборот, форсировать двигатель, уменьшив сами цилиндры, но увеличив их количество и усилив систему охлаждения (не забыли, её эффективность n²?) А ещё придётся переделать капот той машины, в которой этот мотор будет стоять.

Положительные стороны[править]

Объём топлива и перевозимого груза на корабле растёт пропорционально кубу, а сечение, которое надо пропихивать через воду — квадрату. Поэтому суда всё монструознее и монструознее.

То же с дирижаблями: масса оболочки при равной толщине растёт по квадрату, рабочий объем — по кубу, да и аэродинамика улучшается, как у судов. А керосин всё дороже, и перспективы возрождения воздухоплавания всё заманчивее.